一次函数应用题的解题方法

核心提示:一次函数应用题语言叙述较多,数据量较大,给同学们的审题、解题带来很多不便,造成的解题失误较多。但是只要掌握了以下3种解题方法,任何与一次函数应用题有关的问题都能迎刃而解。

一.使用直译法求解一次函数应用题

所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式,然后找出函数关系、列出一次函数解析式,从而解决问题的方法。

例题1.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。

甲:买1支毛笔就赠送1本书法练习本;

乙:按购买金额打9折付款。

某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支,这种书法练习本x(x>=10)本。

(1)分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x之间的函数关系式。

(2)比较购买不同数量的书法练习本时,按哪种优惠办法付款最省钱。

(3)如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买,也可以用两种优惠办法购买,请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。

分析:只需根据题意,按要求将文字语言翻译成符号语言,再列出一次函数关系式即可。

:(1)y甲=10×25+5(x-10)=5x+200(x>=10)

y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225(x>=10)

(2)由(1)有:y甲-y乙=0.5x-25

若y甲-y乙=0

解得x=50

若y甲-y乙>0

解得x>50

若y甲-y乙<0

解得x<50

当购买50本书法练习本时,按两种优惠办法购买实际付款一样多,即可任选一种优惠办法付款;当购买本数不小于10且小于50时,选择甲种优惠办法付款省钱;当购买本数大于50时,选择乙种优惠办法付款省钱。

(3)设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔,则获赠a本书法练习本。则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费用为y=25a+25×0.9×(10-a)+5×0.9×(60-a)=495-2a。故当a最大(为10)时,y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本,再按乙种优惠办法购买50本书法练习本,这样的购买方案最省钱。

说明:本题属于“计算、比较、择优”型,它运用了一次函数、方程、不等式等知识,解决了最优方案的设计问题。

二.使用列表法求解一次函数应用题

列表法就是将题目中的各个量列成一个表格,从而理顺它们之间的数量关系,以便于从中找到函数关系的解题方法。

例题2.某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,共50件。已知:生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg,可获利润700元;生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg,可获利润1200元。

(1)若安排A、B两种产品的生产,共有哪几种方案?请你设计出来。

(2)设生产A、B两种产品获得的总利润是y元,其中一种产品的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少?

分析:本题中共出现了9个数据,其中涉及甲、乙两种原料的质量,生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息,我们可采用列表法。

:(1)设安排生产A种产品x件,则生产B种产品是(50-x)件

产品 每件产品需要甲种原料(kg) 每件产品需要乙种原料(kg) 每件产品利润(元) 件数
A 9 3 700 x
B 4 10 1200 50-x

根据题意得:

解不等式组,得30<=X<=32

因为x是整数,所以x只可取30、31、32,相应的(50-x)的值是20、19、18。所以,生产的方案有三种:生产A种产品30件,B种产品20件;生产A种产品31件,B种产品19件;生产A种产品32件,B种产品18件。

(2)设生产A种产品的件数是x,则生产B种产品的件数是50-x。

由题意得:y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000(其中x只能取30、31、32)

因为-500<0所以y随x的增大而减小,当x=30时,y的值最大

因此,按(1)中第一种生产方案安排生产,获得的总利润最大

最大的总利润是:-500×30+60000=45000(元)

说明:本题是先利用不等式的知识,得到几种生产方案,再利用一次函数性质得出最佳生产方案。

三.使用图示法求解一次函数应用题

所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系,从而观察出函数关系的解题方法。此法对于某些一次函数问题非常有效,解题过程直观明了。

例题3.某市的C县和D县上个月发生水灾,急需救灾物资10t和8t。该市的A县和B县伸出援助之手,分别募集到救灾物资12t和6t,全部赠给C县和D县。已知A、B两县运资到C、D两县的每吨物资的运费如下表所示:

A县 B县
C县 40 30
D县 50 80

(1)设B县运到C县的救灾物资为xt,求总运费w(元)关于x(t)的函数关系式,并指出x的取值范围;

(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案。

分析:本题的信息量大,数据也较多,为梳理各个量之间的关系,我们可以采用如下的图示整理信息。

用图示法求解一次函数应用题

:(1)w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980

自变量x的取值范围是:0<=x<=6

(2)由(1)可知,总运费w随x的增大而减小,所以当x=6时,总运费最低。

最低总运费为-40×6+980=740(元)。

此时的运送方案是:把B县的6t全部运到C县,再从A县运4t到C县,A县余下的8t全部运到D县。

说明:本题运用函数思想得出了总运费w与x的一次函数关系。

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